Підгрупа H називається нормальною підгрупою (або нормальним дільником) групи G, якщо кожного елемента a ∈ S його ліві і праві суміжні класи збігаються, тобто. е. якщо ∀a ∈ S aH = Ha. Зауважимо, кожна підгрупа абелевої групи нормальна.
є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли:
- містить одиничний елемент з
- містить добуток будь-яких двох елементів з ,
- містить разом із усяким своїм елементом зворотний щодо нього елемент .
Клас еквівалентності множини S по відношенню до еквівалентності RH називається лівим суміжним класом групи G за підгрупою H. Позначення: лівий суміжний клас, породжений елементом a ∈ S: aH = {b ∈ S | ∃h ∈ H : a ∗ h = b}.
Визначення: Якщо непусте підмножина елементів групи виявляється замкнутим щодо групової операції та операції взяття зворотного елемента, то утворює групу та називається підгрупою групи: ∀a,b∈H⊆G:a⋅b∈H. ∀a∈H:a−1∈H.